题目

题型：陕西省模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=ax²+bx(a≠0)的导函数f′(x)=-2x+7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n(n，S_n)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上，
(1)求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
(2)令，其中n∈N*，求{nb_n}的前n项和。

答案

解：(1)，∴，
由f′(x)=-2x+7得：a=-1，b=7，
所以，
又因为点P_n(n，S_n)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上，
所以有，
当n=1时，a₁=S₁=6；
当n≥2时，，
∴a_n=-2n+8(n∈N*)．
令a_n=-2n+8≥0得n≤4，∴当n=3或n=4时，S_n取得最大值12；
综上，a_n=-2n+8(n∈N*)，当n=3或n=4时，S_n取得最大值12．
(2)由题意得，，
所以，即数列{b_n}是首项为8，公比为的等比数列，
故{nbn}的前n项和，①
，②
所以①-②得：，
∴。