题目
题型:模拟题难度:来源:
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知各项不为零的数列{an}满足4Sn·=1(Sn为数列前n项和),求数列{an}的通项公式an;
(3)如果数列{an}满足a1=4,an+1=f(an),求证:当n≥2时,恒有an<3成立.
答案
解:(1)依题意有,化简得(1-b)x2+cx+a=0,
由韦达定理,得,解得,
代入表达式得,
由得c<3,
又c∈N,b∈N,
若c=0,b=1,则f(x)=x,不满足题意,
∴c=2,b=2,
故。
(2)由题设得,得:, (*)
且an≠1,用n-1代n得:,(**)
(*)与(**)两式相减得:,
即,
∴或,
把n=1代入(*)得:,
解得a1=0(舍去)或a1=-1,
若,得a2=1,这与an≠1矛盾,
∴,即{an}是以-1为首项,-1为公差的等差数列,
∴an=-n。
(3)采用反证法,假设an≥3(n≥2),则由(1)知,
∴,
即,有,
而当n=2时,,
∴an<3,这与假设矛盾,故假设不成立,
∴an<3。
核心考点
试题【对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点。如果函数f(x)=(b,c∈N)有且只有两个不动点0,2,且f(-2)<,】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证{an}为等差数列;
(2)求{an}的通项公式。
(1)求c的值;
(2)求数列{an}的通项公式。
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