题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁+a₂+…+a_n=n²（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*（k＜p＜r），使成等差数列？若存在，用k分别表示p和r（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为。

答案

解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=1；
当n≥2，n∈N*时，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²，
所以a_n=n²-（n-1）²=2n-1；
综上所述，a_n=2n-1（n∈N*）。
（Ⅱ）当k=1时，若存在p，r使成等差数列，
则，
因为p≥2，所以a_r＜0，与数列{a_n}为正数相矛盾，
因此，当k=1时不存在；
当k≥2时，设a_k=x，a_p=y，a_r=z，则，
所以，
令y=2x-1，得z=xy=x（2x-1），
此时a_k=x=2k-1，a_p=y=2x-1=2（2k-1）-1，
所以p=2k-1，a_r=z=（2k-1）（4k-3）=2（4k²-5k+2）-1，
所以r=4k²-5k+2；
综上所述，当k=1时，不存在p，r；
当k≥2时，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2满足题设；
（Ⅲ）作如下构造：，其中k∈N*，
它们依次为数列{a_n}中的第2k²+6k+5项，第2k²+8k+8项，第2k²+10k+13项，
显然它们成等比数列，且，
所以它们能组成三角形，
由k∈N*的任意性，这样的三角形有无穷多个。
下面用反证法证明其中任意两个三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂（k₁≠k₂）不相似；
若三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂相似，
则，
整理得，所以k₁=k₂，
这与条件k₁≠k₂相矛盾，
因此，任意两个三角形不相似；
故命题成立。