题目

题型：北京期中题难度：来源：

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意正整数n均有成立，求数列{c_n}的前n项和S_n．

答案

解：（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）
∵a₁=1，∴d=2，
∴a_n=2n﹣1，
∵b₂=a₂=1+2=3，b₃=a₅=1+8=9，
∴，
∴b₁=1，q=3，
∴b_n=3 ^n﹣1
（2）当n=1时，c₁=2a₂×b₁=18；
当n≥2时，=4n+1，
∴c_n=（4n+1）3 ^n﹣1，
故，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=18+9×3+13×3²+17×3³+…+（4n﹣3）×3 ^n﹣2+（4n+1）×3 ^n﹣1，①
3S_n=54+9×3²+13×3³+17×3⁴+…+（4n﹣3）×3 ^n﹣1+（4n+1）×3ⁿ，②
①﹣②，得
﹣2S_n=﹣9+4（3²+3³+3⁴+…+3 ^n﹣1）﹣（4n+1）×3ⁿ
             =﹣（4n+1）×3ⁿ
        =﹣9+2×3ⁿ﹣18﹣（4n+1）×3ⁿ
        =﹣27+（1﹣4n）×3ⁿ，
∴．