题目

题型：江苏同步题难度：来源：

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0），数列{b_n}满足b_n=a_na _n+1（n∈N*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，且b₃=12，求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，求数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅲ）若{b_n}是公比为a﹣1的等比数列时，{a_n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

答案

解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差数列a₁=1，a₂=a，b_n=a_na _n+1，b₃=12
∴b₃=a₃a₄=（a₁+2d）（（a₁+3d）=（1+2d）（1+3d）=12
即d=1或d=
又因a=a₁+d=1+d＞0得d＞﹣1
∴d=1
∴a_n=n
（Ⅱ）{a_n}是等比数列，首项a₁=1，a₂=a，
故公比，
所以a_n=a ^n﹣1，
代入{b_n}的表达式得b_n=a_na _n+1=a ^2n﹣1，可得

∴数列{b_n}是以a为首项，公比为 a²的等比数列
故Sn=
（Ⅲ）{a_n}不能为等比数列，理由如下：
∵b_n=a_na _n+1，{b_n}是公比为a﹣1的等比数列
∴
∴a₃=a﹣1
假设{a_n}为等比数列，由a₁=1，a₂=a得
a₃=a²，
所以a²=a﹣1
因此此方程无解，
所以数列一定不能等比数列．