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题目
题型:不详难度:来源:
已知等差数列{an}的公差大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=
1-bn
2
(n∈N*).
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若cn=an•bn,设数列{cn}的前n项和为Tn,证明:Tn<1.
答案
(1)因为a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根且等差数列{an}的公差大于0,
所以解得a2=3,a5=9,所以公差d=
a5-a2
5-2
=2
,所以an=a2+(n-2)d=2n-1.
当n=1时,b1=S1=
1-b1
2
,解得b1=
1
3

当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=
1
2
(bn-1-bn)

所以
bn
bn-1
=
1
3
(n≥2)
,所以数列{bn}是以b1为首项,公比q=
1
3
的等比数列,
所以bn=b1qn-1=(
1
3
)
n
=
1
3n

(2)由(1)知,cn=anbn=
2n-1
3n
,则数列{cn}的前n项和为Tn
Tn=
1
3
+
3
32
+…+
2n-1
3n
  ①
1
3
Tn=
1
32
+
3
33
+…+
2n-1
3n+1
 ②
①-②得
2
3
Tn=
1
3
+
2
32
+
2
33
+…+
2
3n
-
2n-1
3n+1

=
1
3
+
2
32
[1-(
1
3
)
n-1
]
1-
1
3
-
2n-1
3n+1

整理得Tn=1-
n+1
3n+1
,因为n∈N,所以
n+1
3n+1
>0

Tn=1-
n+1
3n+1
<1
核心考点
试题【已知等差数列{an}的公差大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=1-bn2(n∈N*).(1)求数列{a】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知数列{an}是等差数列,a3=10,a6=22,数列{bn}的前n项和是Sn,且Sn+
1
3
bn=1

(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求证:数列{bn}是等比数列.
题型:昌平区一模难度:| 查看答案
设正项数列{an}的前n项和是Sn,若{an}和{


Sn
}都是等差数列,且公差相等,则a1+d=______.
题型:奉贤区二模难度:| 查看答案
将等差数列{an}的所有项依次排列,并如下分组:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6,a7),…,其中第1组有1项,第2组有2项,第3组有4项,…,第n组有2n-1项,记Tn为第n组中各项的和,已知T3=-48,T4=0,
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求数列{Tn}的通项公式;
(III)设数列{ Tn }的前n项和为Sn,求S8的值.
题型:河东区一模难度:| 查看答案
某厂产值第二年比第一年增长p%,第三年比第二年增长q%,又这两年的平均增长率为S%,则S与
p+q
2
的大小关系是(  )
A.S>
p+q
2
B.S=
p+q
2
C.S≤
p+q
2
D.S≥
p+q
2
题型:不详难度:| 查看答案
已知等差数列{an}中,a1+a2+a3=27,a6+a8+a10=63
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=3an,求数列{bn}的前n项的和Sn
题型:不详难度:| 查看答案
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