已知函数f（x）=（ x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，若a1=f（d-1），a3=f（d+1），b - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知函数f（x）=（ x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q+1），b₃=f（q-1）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，且对一切自然数n，均有

+…+

=a_n+1，求

lim

n→∞

S2n+1

S2n

的值．

答案

（Ⅰ）∵a₃-a₁=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即d²-（d-2）²=2d，解得d=2．
∴a₁=f（2-1）=0．∴a_n=2（n-1）．
∵

=q2，∴

f(q-1)

f(q+1)

=q2=

(q-2)2

．
∵q≠0，q≠1，∴q=-2．
又b₁=f（q+1）=4，∴b_n=4•（-2）^n-1．
（Ⅱ）由题设知

=a2，∴c₁=a₂b₁=8．
当n≥2时，

+…+

=a_n+1，

+…+

cn-1

bn-1

=an，
两式相减，得

=an+1-an=2．
∴c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2）．
∴S_2n+1=c₁+c₂+c₃+…+c_2n+1=8+2（3+3²+…+3²ⁿ）=8+2×

32n+1-3

3 -1

=3²ⁿ⁺¹+5．
即S_2n=3²ⁿ⁺¹+5-2×3²ⁿ=3²ⁿ+5．
∴

lim

n→∞

S2n+1

S2n

lim

n→∞

32n+1+5

32n+5

核心考点

试题【已知函数f（x）=（ x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，若a1=f（d-1），a3=f（d+1），b】；主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]

举一反三

若{a_n}是公差d≠0的等差数列，通项为a_n，{b_n}是公比q≠1的等比数列，已知a₁=b₁=1，且a₂=b₂，a₆=b₃．
（1）求d和q．
（2）是否存在常数a，b，使对一切n∈N^*都有a_n=log_ab_n+b成立，若存在求之，若不存在说明理由．

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等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，前n项和为S_n．等比数列{b_n}中，b₁=1，且b₂S₂=6，b₂+S₃=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求

+…+

．

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已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n+1）（n+2），则它的前n项和S_n=______．

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有穷数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+n，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值是79．
①求数列{a_n}的通项a_n；
②求这个数列的项数，抽取的是第几项？

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等差数列{a_n}中，已知a₁=-6，a_n=0，公差d∈N^*，则n（n≥3）的最大值为（　　）

A．7

B．6

C．5

D．8

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