题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足：a₁=3，an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且存在实数λ使得{

an+λ

2n

}为等差数列，则{a_n}的通项公式是a_n=______．

答案

假设存在一个实数λ符合题意，则

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

①
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是与n无关的常数，则

1+λ

2n

=0，得λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列
由①知数列{

an+λ

2n

}的公差d=1，
∴

an-1

2n

=

a1-1

21

+（n-1）•1=n．
得a_n=n•2ⁿ+1
故答案为：n•2ⁿ+1．