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题目
题型:江苏难度:来源:
设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项和.记bn=
nSn
n2+c
,n∈N*,其中c为实数.
(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);
(2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.
答案
证明:(1)若c=0,则an=a1+(n-1)d,Sn=
n[(n-1)d+2a]
2
bn=
nSn
n2
=
(n-1)d+2a
2

当b1,b2,b4成等比数列时,则b22=b1b4
即:(a+
d
2
)2=a(a+
3d
2
)
,得:d2=2ad,又d≠0,故d=2a.
因此:Sn=n2aSnk=(nk)2a=n2k2an2Sk=n2k2a
故:Snk=n2Sk(k,n∈N*).
(2)bn=
nSn
n2+c
=
n2
(n-1)d+2a
2
n2+c

=
n2
(n-1)d+2a
2
+c
(n-1)d+2a
2
-c
(n-1)d+2a
2
n2+c

=
(n-1)d+2a
2
-
c
(n-1)d+2a
2
n2+c
.  ①
若{bn}是等差数列,则{bn}的通项公式是bn=An+B型.
观察①式后一项,分子幂低于分母幂,
故有:
c
(n-1)d+2a
2
n2+c
=0
,即c
(n-1)d+2a
2
=0
,而
(n-1)d+2a
2
≠0

故c=0.
经检验,当c=0时{bn}是等差数列.
核心考点
试题【设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项和.记bn=nSnn2+c,n∈N*,其中c为实数.(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
若2、a、b、c、9成等差数列,则c-a=______.
题型:重庆难度:| 查看答案
在等差数列{an}中,
a11
a10
  
<-1,若它的前n项和Sn有最大值,则使Sn取得最小正数的n=______.
题型:泗阳县模拟难度:| 查看答案
设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(  )
A.3B.4C.5D.6
题型:不详难度:| 查看答案
已知首项为
3
2
的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 证明Sn+
1
Sn
13
6
(n∈N*)
题型:天津难度:| 查看答案
若数列{an}是各项均为正数的等比数列,则当bn=
na1a2an

时,数列{bn}也是等比数列;类比上述性质,若数列{cn}是等差数列,则当dn=______时,数列{dn}也是等差数列.
题型:宿迁一模难度:| 查看答案
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