当前位置:高中试题 > 数学试题 > 等差数列 > 已知函数f(x)=3x2+1,g(x)=2x,数列{an}满足对于一切n∈N*有an>0,且f(an+1)-f(an)=g(an+1+32).数列{bn}满足b...
题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=3x2+1,g(x)=2x,数列{an}满足对于一切n∈N*有an>0,且f(an+1)-f(an)=g(an+1+
3
2
)
.数列{bn}满足bn=logana,设k,l∈N*bk=
1
1+3l
bl=
1
1+3k

(1)求证:数列{an}为等比数列,并指出公比;
(2)若k+l=9,求数列{bn}的通项公式.
(3)若k+l=M0(M0为常数),求数列{an}从第几项起,后面的项都满足an>1.
答案
(1)∵f(an+1)-f(an)=g(an+1+
3
2
)

3(an+1)2+1-3an2-1=2(an+1+
3
2
),即6a^=2an+1
an+1
an
=3

故数列{an}为等比数列,公比为3.
(2)bn=logana⇒
1
bn
=logaan
1
bn+1
-
1
bn
=loga
an+1
an
=loga3

所以数列{
1
bn
}
是以
1
b1
为首项,公差为loga3的等差数列.
loga3=
1
b
k
-
1
b
l
k-l
=
1+3l-1-3k
k-l
=-3
⇒a=3-
1
3
=(
1
3
)
1
3

1
bk
=
1
b1
+(k-1)(-3)=1+3l
,且k+l=9
1
b1
=3(k+l)-2=25

1
bn
=25+(n-1)(-3)=28-3n⇒bn=
1
28-3n

(3)∵k+l=M0
1
b1
=3M0-2

1
bn
=3M0-2+(n-1)(-3)=3M0-3n+1

假设第m项后有an>1
a=(
1
3
)
1
3
∈(0,1)⇒
1
bn
=logaan<0

即第m项后
1
bn
<0

于是原命题等价于





1
bm
>0
1
bm+1
<0





3M0-3m+1>0      
3M0-3(m+1)+1<0
M0-
2
3
<m<M0+
1
3

∵m,M∈N*⇒m=M0故数列{an}从M0+1项起满足an>1.
核心考点
试题【已知函数f(x)=3x2+1,g(x)=2x,数列{an}满足对于一切n∈N*有an>0,且f(an+1)-f(an)=g(an+1+32).数列{bn}满足b】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知数列{an}为等差数列,若a1+a6=9,a4=7,则a9=______.
题型:不详难度:| 查看答案
在数列{an}中,a1=1,an=
an-1
can-1+1
(c为常数,n∈N*,n≥2),又a1,a2,a5成公比不为l的等比数列.
(I)求证:{
1
an
}为等差数列,并求c的值;
(Ⅱ)设{bn}满足b1=
2
3
bn=an-1an+1(n≥2,n∈N*)
,证明:数列{bn}的前n项和Sn
4
n
-n
4
n
-1
题型:不详难度:| 查看答案
在数列{an}和{bn}中,a1=2,3an+1-an=0(n∈N*),bn是an与an+1的等差中项,则b3=______.
题型:不详难度:| 查看答案
等差数列an中,若a1,a2011为方程x2-10x+16=0的两根,则a2+a1006+a2010等于(  )
A.10B.15C.20D.40
题型:晋中三模难度:| 查看答案
在数列{an}中,已知a1=
1
4
an+1
an
=
1
4
bn+2=3log
1
4
an(n∈N*)

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{bn}是等差数列;
(3)设数列{cn}满足cn=an+bn,求{cn}的前n项和Sn
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.