题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}中，a₂=2，前n项和为Sn，且Sn=

n(an+1)

2

．
（I）证明数列{a_n+1-a_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=

1

(2an+1)(2an-1)

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使不等式Tn＞

k

57

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

答案

（I）由题意，当n=1时，a1=S1=

a1+1

2

，则a1=1．
a₂=2，则a₂-a₁=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n(an+1)

2

-

(n-1)(an-1+1)

2

=

1

2

[nan-(n-1)an-1+1]，an+1=

1

2

[(n+1)an+1-nan+1]，
则an+1-an=

1

2

[(n+1)an+1-2nan+(n-1)an-1]，
则（n-1）a_n+1-2（n-1）a_n+（n-1）a_n-1=0，
即a_n+1-2a_n+a_n-1=0，
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1．
则数列{a_n+1-a_n}是首项为1，公差为0的等差数列．…（6分）
从而a_n-a_n-1=1，则数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
所以，a_n=n（n∈N^*）…（8分）
（II）bn=

1

(2an+1)(2an-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（10分）
所以，Tn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．…（12分）
由于Tn+1-Tn=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0．
因此T_n单调递增，
故T_n的最小值为T1=

1

3

…（14分）
令

1

3

＞

k

57

，得k＜19，
所以k的最大值为18．…（16分）