题目

题型：不详难度：来源：

已知实数，曲线与直线的交点为(异于原点)，在曲线上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以得到点，，…,,… . 设点的坐标为，.
（Ⅰ）试用表示，并证明；   
（Ⅱ）试证明，且（）；
（Ⅲ）当时，求证： （）.

答案

见解析部分

解析

（Ⅰ）点的坐标满足方程组，所以,
解得： ，故，
因为，所以故，故.
（Ⅱ）由已知，，，
即：，                     
所以
因为，所以.           
下面用数学归纳法证明（）
○11当时，成立；
○22假设当时，有成立，（）
则当时，   
所以      
所以当时命题也成立，
综上所述由○11，○22知（）成立.
(注：此问答题如：只是由图可知，而不作严格证明，得分一律不超过2分)
（Ⅲ）当时，， ()，
所以.
因为，所以当时，由（Ⅱ）知，
所以有.
又因为，
所以，，
故有：