题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）已知抛物线的准线方程，与直线在第一象限相交于点，过作的切线，过作的垂线交x轴正半轴于点，过作的平行线交抛物线于第一象限内的点，过作抛物线的切线，过作的垂线交x轴正半轴于点，…，依此类推，在x轴上形成一点列，，，…，，设点的坐标为
（Ⅰ）试探求关于的递推关系式； （Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：．

答案

(Ⅰ)   (Ⅱ) 见解析 （Ⅲ）见解析

解析

（I）由题意知：　　（１分）
由题意知联立得：，.
   　　　（３分）
切线的斜率为，直线的斜率，
直线的方程为
令，得：    （５分）
（Ⅱ）由已知易得，直线的斜率，
直线的方程为：令得 （７分）
（９分）

当时，即： 
当时， 故（11分）(用数学归纳法证明亦可)
（III）由（II）知：.


.   (12分)