题目

题型：不详难度：来源：

（14分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上。  （1）求a₁和a₂的值；  （2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；

答案

（1）2,4（2）b_n=2n-1，a_n=2ⁿ 

解析

（1）∵a_n是S_n与2的等差中项∴S_n=2a_n-2              。。。。1
∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁="2              " 。。。。2
a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂="4     " 。。。        。3
（2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
又S_n—S_n-1=a_n，                。。。。5
∴a_n=2a_n-2a_n-1，    ∵a_n≠0，∴，。。8
即数列{a_n}是等比数列∵a₁=2，∴a_n=2^{n                                             10}
∵点P(b_n，b_n+1)在直线x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，。。。       12
∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，                      13
又b₁=1，∴b_n=2n-1，                                   14分