题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分)
已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足
，．数列满足，为数列的前n项和．
（1）求、和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有
的值；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）（法一）在中，令，，
得  即      ……………………………………2分
解得，，                       ………………………………………3分
．
，
．       ……………………5分
（法二）是等差数列，
．               …………………………2分
由，得 ，                        
又，，则．              ………………………3分
(求法同法一)
（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．      …………………………………6分
，等号在时取得．           
此时 需满足．               …………………………………………7分
②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．       …………………………………8分
是随的增大而增大， 时取得最小值．
此时 需满足．               …………………………………………9分
综合①、②可得的取值范围是．  …………………………………………10分
（3），
若成等比数列，则，即．…11分
（法一）由，　　可得，
即，  　　　               …………………………………12分
．                    ……………………………………13分
又，且，所以，此时．
因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．…………14分
（法二）因为，故，即，
，（以下同上）．   …………………………………………13分

解析

略