题目
题型:不详难度:来源:
(1)求数列的通项公式和数列的前n项和;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.
答案
(2). ……9分
(3) 存在
解析
(2)因为本小题是关于n的不等式恒成立问题,应对n的奇偶进行讨论.分别再对得到的结果求交集.
(3)解本小题的关键由,
若成等比数列,则,即.
从而得,据此得到m的范围,找到m的值,进一步得到n的值.
解:(1)在中,令,,
得 即 ……1分
解得,, ……2分
又时,满足,
, ……3分
. ……4分
(2)①当为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立. ……5分
,等号在时取得
此时需满足 ……6分
②当为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立. ……7分
是随的增大而增大,时取得最小值.
此时需满足. ……8分
综合①、②可得的取值范围是. ……9分
(3),
若成等比数列,则,……10分
即.
由,可得, ……12分
即,
. ……13分
又,且,所以,此时.
因此,当且仅当,时,数列中的成等比数列. …14分
[另解] 因为,故,即,
.
点评:(1)由an与Sn的关系求通项要注意根据需要给n赋值,每赋一个值就可得到一个方程.
(2)有关n的不等式恒成立问题,要注意题目当中如果有要注意按n为奇偶进行讨论.
(3)解小题的关键是利用成等比数列,建立n与m的等式关系,下一步难点在于对式子的变形处理上,要注意体会其方法.
核心考点
试题【已知数列是各项均不为0的等差数列,公差为d,为其前n项和,且满足,.数列满足,, 为数列的前n项和.(1)求数列的通项公式和数列的前n项和;(2)若对任意的,不】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.4 | B.5 | C.9 | D.10 |
在等差数列中,已知。
(Ⅰ)求通项和前n项和;
(Ⅱ)求的最大值以及取得最大值时的序号的值;
(Ⅲ)求数列的前n项和.
已知数列满足
(Ⅰ)证明:数列为等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项以及前n项和;
(Ⅲ)如果对任意的正整数都有求的取值范围。
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