题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分18分）设数列{}的前项和为，且满足=2-，(=1，2，3，…)
(Ⅰ)求数列{}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{}满足=1，且，求数列{}的通项公式；
(Ⅲ),求的前项和

答案

(Ⅰ) an=(n∈N*)； (Ⅱ) bn=3-2()n-； (Ⅲ)  。

解析

试题分析：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2
∴a1=1 
∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2
两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0
即an+1-an+an+1=0，故有2an+1=an
∵an≠0 ∴(n∈N*)
所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(n∈N*)
(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)
∴bn+1-bn=()n-1
得b2-b1=1
b3-b2=
b4-b3=()2
……
bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…)
将这n-1个等式相加，得
bn-b1=1+
又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…)  
(3)
所以
点评：若已知递推公式为的形式求通项公式常用累加法。
注：①若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。