题目
题型:不详难度:来源:
(1)写出数列的所有可能的情况;(5分)
(2)设,求(用的代数式来表示);(5分)
(3)求的最大值.(6分)
答案
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6);
2个起评,对2个1分,3个2分,4个3分,5个4分,6个5分
(2)
.
(3)的最大值为.
解析
试题分析:(1)由题设,满足条件的数列的所有可能情况有:
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6);
2个起评,对2个1分,3个2分,4个3分,5个4分,6个5分
(2),由,
则或(,), 6分
,
,
…
,
所以. 7分
因为,所以,且为奇数, 8分
是由个1和个构成的数列. 9分
所以
. 10分
(3)
则当的前项取,后项取时最大, 12分
此时14分
证明如下:
假设的前项中恰有项取,则
的后项中恰有项取,其中,,,.
所以 .
. 16分
所以的最大值为.
点评:综合题,新定义数列问题,利用“叠加法”求得,对考查考生灵活运用数学知识的能力起到了很好的作用。本题较难。
核心考点
试题【定义数列,(例如时,)满足,且当()时,.令.(1)写出数列的所有可能的情况;(5分)(2)设,求(用的代数式来表示);(5分)(3)求的最大值.(6分)】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求的通项公式;
(2)设,是的前n项和,是否存在正数,对任意正整数,不等式恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
(3)判断方程是否有解,说明理由;
(理)对于数列,从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后,打算研究首项为正整数,公比为正整数的无穷等比数列的子数列问题. 为此,他任取了其中三项.
(1) 若成等比数列,求之间满足的等量关系;
(2) 他猜想:“在上述数列中存在一个子数列是等差数列”,为此,他研究了与的大小关系,请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确;
(3) 他又想:在首项为正整数,公差为正整数的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列?请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.
(1)证明:,();
(2)设,求数列的通项公式;
(3)设数列的前项和为,数列的前项和为,数列的前项和为,求证:.
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