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题目
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定义数列,(例如时,)满足,且当)时,.令
(1)写出数列的所有可能的情况;(5分)
(2)设,求(用的代数式来表示);(5分)
(3)求的最大值.(6分)
答案
(1)由题设,满足条件的数列的所有可能情况有:
(1);     (2)
(3);    (4)
(5);      (6)
2个起评,对2个1分,3个2分,4个3分,5个4分,6个5分
(2)

(3)的最大值为
解析

试题分析:(1)由题设,满足条件的数列的所有可能情况有:
(1);     (2)
(3);    (4)
(5);      (6)
2个起评,对2个1分,3个2分,4个3分,5个4分,6个5分
(2),由
),            6分




所以.                       7分
因为,所以,且为奇数,        8分
是由个1和构成的数列.            9分
所以
.                 10分
(3)
则当的前项取,后项取最大,  12分
此时14分
证明如下:
假设的前项中恰有,则
的后项中恰有,其中
所以     .             

 
.    16分
所以的最大值为.                
点评:综合题,新定义数列问题,利用“叠加法”求得,对考查考生灵活运用数学知识的能力起到了很好的作用。本题较难。
核心考点
试题【定义数列,(例如时,)满足,且当()时,.令.(1)写出数列的所有可能的情况;(5分)(2)设,求(用的代数式来表示);(5分)(3)求的最大值.(6分)】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
若数列满足,2,…,),若,则=    
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为正整数时,定义函数表示的最大奇因数.如,….记.则           .(用来表示)
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已知等差数列的前项和,且
(1)求的通项公式;
(2)设的前n项和,是否存在正数,对任意正整数,不等式恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
(3)判断方程是否有解,说明理由;
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(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
(理)对于数列,从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后,打算研究首项为正整数,公比为正整数的无穷等比数列的子数列问题. 为此,他任取了其中三项.
(1) 若成等比数列,求之间满足的等量关系;
(2) 他猜想:“在上述数列中存在一个子数列是等差数列”,为此,他研究了的大小关系,请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确;
(3) 他又想:在首项为正整数,公差为正整数的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列?请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.
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设数列满足
(1)证明:);
(2)设,求数列的通项公式;
(3)设数列的前项和为,数列的前项和为,数列的前项和为,求证:
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