题目
题型:不详难度:来源:
(1)求S5,S7的值;
(2)求证:对任意n∈N*,Sn≥0.
答案
(2)根据已知的递推关系,然后结合整体的思想来分析得到,然后运用数学归纳法加以证明。
解析
试题分析:解:(1)根据题意, 由于a1=1,a2k=-ak,a2k-1=(-1)k+1ak,
故有 故可知S5=3,S7=1. 2分
(2)由题设的定义可知,对于每个正整数k,有
. ①
. ② 4分
则 ,③
. ④ 6分
下面证明对于所有的n≥1,Sn≥0.
对于k,用数学归纳法予以证明.
当i=1,2,3,4,即k=0时,S1=1,S2=0, S3=1, S4=2.
假设对于所有的i≤4k,Si≥0,则由①、②、③、④知,
S4k+4=2Sk+1≥0,
S4k+2=S4k≥0,
S4k+3=S4k+2+a4k+3=S4k+2+a4k+4=S4k+2+(S4k+4-S4k+3),S4k+3=≥0.
接下来证明:S4k+1≥0.
若k是奇数,则S4k=2Sk≥2.
因为k是奇数,所以由题设知数列的各项均为奇数,可知Sk也是一个奇数. 于是
S4k≥2. 因此,S4k+1=S4k+a4k+1≥1.
若k是偶数,则a4k+1=a2k+1=ak+1. 所以S4k+1=S4k+a4k+1=2Sk+ak+1=Sk+Sk+1≥0.
综上,对于所有的n≥1,Sn≥0. 10分
点评:解题的关键是通过具体的例子归纳猜想结论,结合数学归纳法加以证明,属于中档题。
核心考点
试题【在数列{an}(n∈N*)中,已知a1=1,a2k=-ak,a2k-1=(-1)k+1ak,k∈N*. 记数列{an}的前n项和为Sn.(1)求S5,S7的值;】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ) 若,
(i)求的值和数列的通项公式;
(ii)求数列的前项和;
(Ⅱ)若,且,求数列的前项的和.
A.2 | B.3 | C.-3 | D.4 |
(Ⅰ)求证:数列成等差数列;
(Ⅱ)求数列的前项和.
A.5 | B.4 | C.3 | D.2 |
A.13 | B.21 | C.34 | D.55 |
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