题目

题型：不详难度：来源：

已知数列的前项和为，且满足 ()，，设，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若≥，，求实数的最小值；
（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．

答案

（1）根据等比数列的定义，相邻两项的比值为定值。
（2）-9
（3）①当为偶数时，，存在正整 数，使得，，,，所以且，
相应的，即有，为“指数型和”；        
②当为奇数时，，由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以不成立，此时没有“指数型和

解析

试题分析：解：（1），，，当时，
=2，所以为等比数列． ，．
（2） 由（1）可得   
；  ，   ，
所以，且．所以的最小值为-9
（3）由（1）当时 ，
当时，，，
所以对正整数都有．                   
由，，(且)，只能是不小于3的奇数．
①当为偶数时，，
因为和都是大于1的正整数，
所以存在正整 数，使得，，
,，所以且，
相应的，即有，为“指数型和”；        
②当为奇数时，，由于是个奇数之和，
仍为奇数，又为正偶数，所以不成立，此时没有“指数型和”
点评：解决的关键是能利用数列的定义和数列的单调性来求解参数的值，同事能借助于新定义来求解，属于基础题。