题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分）
若等差数列的前项和为，且满足为常数，则称该数列为数列．
（1）判断是否为数列？并说明理由；
（2）若首项为且公差不为零的等差数列为数列，试求出该数列的通项公式；
（3）若首项为，公差不为零且各项为正数的等差数列为数列，正整数满足，求的最小值

答案

(1)它为数列 ；(2) ,其中.
（3）最小值为，当且仅当取等号

解析

试题分析：（1）由等差数列的通项公式找出等差数列的首项和公差，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S_n和S_2n，求出等于为常数，所以得到该数列为S数列；
（2）设此数列的公差为d，根据首项和公差，利用等差数列的前n项和的公式表示出S_n和S_2n，因为此数列为S数列，得到 等于常数，设比值等于k，去分母化简后得到关于n的一个多项式等于0，令其系数和常数项等于0即可求出k和d值，根据首项和公差d写出该数列的通项公式即可．
（3）根据已知条件首项为a₁的各项为正数的等差数列{a_n}为S数列，设n+h=2008，利用基本不等式求出的最小值．
解：(1)由,得，所以它为数列
(2)假设存在等差数列,公差为,则
(常数)
化简得
① 
由于①对任意正整数均成立,则
解得:  ，故存在符合条件的等差数列.
其通项公式为: ,其中.
（3）

其最小值为，当且仅当取等号
点评：解决该试题的关键是学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，掌握题中的新定义并会利用新定义化简求值。