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题目
题型:不详难度:来源:
如图1所示,等边△ABC中,AD是BC边上的中线,根据等腰三角形的“三线合一”特性,AD平分∠BAC,且AD⊥BC,则有∠BAD=30°,BD=CD=
1
2
AB
.于是可得出结论“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”.

魔方格

请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题:
(1)△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,AB=a,则BC=______;
(2)如图2所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线交AB于点D,垂足为E,当BD=5cm,∠B=30°时,△ACD的周长=______.
(3)如图3所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,那么BE:EA=______.
(4)如图4所示,在等边△ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且∠CAD=∠ABE,AD、BE交于点P,作BQ⊥AD于Q,猜想PB与PQ的数量关系,并说明理由.
答案


魔方格

(1)∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,且∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=30,∠C=90°,
∴BC=
1
2
AB=
a
2

故填:
a
2


(2)如图2,∵DE是线段BC的垂直平分线,∠ACB=90°,
∴CD=BD,AD=BD.
又∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴AC=
1
2
AB,
∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm.
故填:15cm;

(3)如图3,连接AD.
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中点,
∴∠BAD=60°.
又∵DE⊥AB,
∴∠B=∠ADE=30°,
∴BE=
1
2
BD,AE=
1
2
AD,
∴BE:EA=BD:AD=tan60°=


3
:1.
故填:


3
:1.

(4)BP=2PQ.理由如下:
∵△ABC为等边三角形.
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,
在△BAE和△ACD中,





AE=CD
∠BAC=∠ACB
AB=AC

∴△BAE≌△ACD(SAS),
∴∠ABE=∠CAD.
∵∠BPQ为△ABP外角,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD.
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ.
核心考点
试题【如图1所示,等边△ABC中,AD是BC边上的中线,根据等腰三角形的“三线合一”特性,AD平分∠BAC,且AD⊥BC,则有∠BAD=30°,BD=CD=12AB.】;主要考察你对三角形三边关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,点M为EC的中点.求证:△BMD为等腰直角三角形.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图所示,已知AC⊥BC,CD⊥AB,∠2与∠A有什么关系?请说明理由.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半,那么这个等腰三角形的顶角等于______度.
题型:海南难度:| 查看答案
如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,则图中等腰三角形有几个(  )
A.2个B.3个C.4个D.5个.
魔方格
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在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是(  )
A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF
题型:不详难度:| 查看答案
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