题目
题型:不详难度:来源:
(1)求;
(2)若从中抽取一个公比为的等比数列,其中,且,.
①当取最小值时,求的通项公式;
②若关于的不等式有解,试求的值.
答案
解析
试题分析:
(1)解等差数列问题,主要从待定系数对应关系出发.由等差数列前n项和公式求出公差d即可,(2)①利用等比数列每一项都为等差数列中项这一限制条件,对公比逐步进行验证、取舍,直到满足.因为研究的是取最小值时的通项公式,因此可从第二项开始进行验证,首先满足的就是所求的公比,②由①易得与的函数关系,并由为正整数初步限制取值范围,当且时适合题意,当且时,不合题意.再由不等式有解,归纳猜想并证明取值范围为本题难点是如何说明当时不等式即无解,可借助研究数列单调性的方法进行说明.
试题解析:
(1)设等差数列的公差为,则,解得, 2分
所以. 4分
(2)因为数列是正项递增等差数列,所以数列的公比,
若,则由,得,此时,由,
解得,所以,同理; 6分
若,则由,得,此时,
另一方面,,所以,即, 8分
所以对任何正整数,是数列的第项.所以最小的公比.
所以. 10分
(3)因为,得,而,
所以当且时,所有的均为正整数,适合题意;
当且时,不全是正整数,不合题意.
而有解,所以有解,经检验,当,,时,都是的解,适合题意; 12分
下证当时,无解, 设,
则,
因为,所以在上递减,
又因为,所以恒成立,所以,所以恒成立,
又因为当时,,所以当时,无解. 15分
综上所述,的取值为 16分
核心考点
试题【设等差数列的前项和为,已知,.(1)求;(2)若从中抽取一个公比为的等比数列,其中,且,.①当取最小值时,求的通项公式;②若关于的不等式有解,试求的值.】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若a1=3,求证:存在(a,b,c为常数),使数列{an+f(n)}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)若an是一个等差数列{bn}的前n项和,求首项a1的值与数列{bn}的通项公式.
A. | B. | C. | D. |
A.-110 | B.-90 | C.90 | D.110 |
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