题目

题型：不详难度：来源：

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃＝7，且a₁＋3,3a₂，a₃＋4构成等差数列．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)令b_n＝ln a_3n＋1，n＝1,2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n.

答案

（1）a_n＝2^n－1（2）ln 2

解析

(1)依题意，得 
解得a₂＝2.
设等比数列{a_n}的公比为q，由a₂＝2，可得a₁＝，a₃＝2q.
又S₃＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q²－5q＋2＝0，
解得q＝2或.
由题意，得q>1，∴q＝2，∴a₁＝1.
故数列{a_n}的通项是a_n＝2^n－1.
(2)由于b_n＝ln a_3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a_3n＋1＝2³ⁿ，
∴b_n＝ln 2³ⁿ＝3n ln 2，
又b_n＋1－b_n＝3ln 2，
∴数列{b_n}是等差数列．
∴T_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝＝ln 2.
故T_n＝ln 2.