题目

题型：不详难度：来源：

各项均为正数的数列{a_n}中，设，，且，．
（1）设，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）设，求集合．

答案

（1）详见解析，（2）（）．

解析

试题分析：（1）数列{bn}是等比数列，实际就是证明为常数，首先列出的关系式，由知消去参数由，所以①，当时， ②，①-②，得即，，化简得或（）．因为数列{an}的各项均为正数，所以数列单调递减，所以．所以（）．
（2）由（1）知，所以，即．由，得，又时，，所以数列从第2项开始依次递减．当时，若，则，与矛盾，所以时，，即．令，则，所以，即存在满足题设的数组（）．当时，若，则不存在；若，则；若时，，（*）式不成立．
【解】（1）当时，，
即，解得．                             2分
由，所以 ①    
当时， ②
①-②，得（），           4分
即，
即，所以，
因为数列{an}的各项均为正数，所以数列单调递减，所以．
所以（）．
因为，所以，
所以数列{bn}是等比数列．                                   6分
（2）由（1）知，所以，即．
由，得（*）
又时，，所以数列从第2项开始依次递减．      8分
（Ⅰ）当时，若，则，
（*）式不成立，所以，即．                  10分
令，则，
所以，即存在满足题设的数组（）．   13分
（Ⅱ）当时，若，则不存在；若，则；
若时，，（*）式不成立．
综上所述，所求集合为（）．       16分
（注：列举出一组给2分，多于一组给3分）