题目

题型：不详难度：来源：

设向量

a

=(x，2)，

b

=(x+n，2x-1) (n∈N+)，函数y=

a

•

b

在[0，1]上的最小值与最大值的和为a_n，又数列{b_n}满足：nb1+(n-1)b2+…+bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+(

9

10

)+1
（1）求证：a_n=n+1；
（2）求b_n的表达式；
（3）c_n=-a_n•b_n，试问数列{c_n}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有c_n≤c_k成立？证明你的结论．

答案

（1）∵

a

=(x，2)，

b

=(x+n，2x-1) (n∈N+)，
∴函数y=

a

•

b

=x（x+n）+4x-2=x²+（4+n）x-2
判断知，此函数在[0，1]上为增函数，
∴a_n=-2+1+4+n-2=n+1
（2）nb1+(n-1)b2+…+bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+(

9

10

)+1=10[1-(

9

10

)n](n-1)b1+(n-2)b2+…+bn-1=(

9

10

)n-2+(

9

10

)n-3+…+(

9

10

)+1=10[1-(

9

10

)n-1]
两式相减得：b1+b2+…+bn=(

9

10

)n-1
由上式得b1+b2+…+bn-1=(

9

10

)n-2
两式作差得bn=-

1

10

•(

9

10

)n-2，n≥2
又n=1时，b₁=1
所以bn=

1    n=1 - 1 10 •( 9 10 )n-2  n≥2

（3）n≥2时，cn=

n+1

10

•(

9

10

)n-2，
令

ck ck-1 ≥1 ck ck+1 ≥1

⇒k=9或8
验证知，当n=1，2也满足
故存在k=8，9使得c_n≤c_k对所有的n∈N*成立