题目

题型：不详难度：来源：

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

-sin

x

2

)，x∈[0，

π

2

]
（1）用x的式子表示； 

a

.

b

及|

a

+

b

|；
（2）求函数f(x)=

a

.

b

-4|

a

+

b

|的值域；
（3）设g(x)=

a

.

b

+t|

a

+

b

|，若关于x的方程g（x）+2=0有两不同解，求t的取值范围？．

答案

（1）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x
∵|

a

+

b

|2=1+2cos2x+1=2（1+cos2x）=4cos²x
∴|

a

+

b

|=2cosx  x∈[0，

π

2

]
（2）∵f(x)=

a

•

b

-4|

a

+

b

|=cos2x-8cosx=2cos²x-8cosx-1=2（cosx-2）²-9
∵x∈[0，

π

2

]∴cosx∈[0，1]∴f（x）∈[-7，-1]
（3）∵g（x）+2=0
∴cos2x+2tcosx+2=0
即2cos²x+2tcosx+1=0
令cosx=μ∈[0，1），F（μ）=2μ²+2tμ+1
∴

△=4t2-8＞0 0＜- 2t 4 ＜1 F(0)≥0 F(!)≥0

∴t∈[-

3

2

，-

2

)