题目

题型：不详难度：来源：

已知

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（sinx，cosx），设函数f（x）=

a

•

b

，x∈[

π

2

，π]
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和最小值．

答案

（Ⅰ）由题意：函数f（x）=

a

•

b

=

3

sin²x+sinxcosx，x∈[

π

2

，π]．…（1分）
令f（x）=0，得 

3

sin²x+sinxcosx=0，
所以sinx=0，或tanx=-

3

3

．…（2分）
由sinx=0，x∈[

π

2

，π]，得x=π．
由tanx=-

3

3

，x∈[

π

2

，π]，得x=

5π

6

．
综上，函数f（x）的零点为

5π

6

或π．                   …（6分）
（Ⅱ）函数f（x）=

3

sin²x+sinxcosx=

3

2

（1-cos2x）+

1

2

sin2x=sin（2x-

π

3

）+

3

2

   …（8分）
因为x∈[

π

2

，π]，所以2x-

π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]
当2x-

π

3

=

2π

3

，即x=

π

2

时，f（x）的最大值为

3

；    …（12分）
当2x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

12

时，f（x）的最小值为-1+

3

2

．…（14分）