题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的图象与x轴交点为（-

π

6

，0），与此交点距离最小的最高点坐标为（

π

12

，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数f（x）满足方程f（x）=a（-1＜a＜0），求在[0，2π]内的所有实数根之和；
（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移

2π

3

个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数y=g（x）的图象．若对任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在区间[0，

5π

6

]上至多有一个解，求正数k的取值范围．

答案

（Ⅰ）从图知，函数的最大值为1，则A=1，
函数f（x）的周期为T=4×（

π

12

+

π

6

）=π，而T=

2π

ω

，则ω=2，
又x=-

π

6

时，y=0，所以sin（2×（-

π

6

）+φ）=0，而-

π

2

＜φ＜

π

2

，则φ=

π

3

，


所以函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x+

π

3

）的周期为π，
f（x）=sin（2x+

π

3

）在[0，2π]内恰有2个周期，并且方程sin（2x+

π

3

）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]内有4个实根，
x1+x2=

7

6

π，x3+x4=

19

6

π，
故所有实数根之和为

13

3

π；
（Ⅲ）g（x）=2sin（x-

π

3

）+1，
函数y=|g（x）|的图象如图所示：
则当y=|g（x）|图象伸长为原来的5倍以上时符合题意，所以0＜k≤

1

5

．