题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=3cos²x+2cosxsinx+sin²x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求出此时x的值；
（Ⅱ）写出f（x）的单调递增区间．

答案

（Ⅰ）f（x）=3cos²x+2cosxsinx+sin²x
=3×

1+cos2x

2

+sin2x+

1-cos2x

2

=2+sin2x+cos2x
=

2

sin(2x+

π

4

)+2
当2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，即x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，f（x）取得最大值2+

2

；
（Ⅱ）当-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）时，
正弦函数sin（2x+

π

4

）单调递增，此时函数也单调递增，
则函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．