题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

给出公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
我们可以根据公式将函数g(x)=sinx+

3

cosx化为：g(x)=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=2(sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

)=2sin(x+

π

3

)的形式；
（1）根据你的理解，试将函数f(x)=sinx+cos(x-

π

6

)化为f（x）=Asin（ωx+φ）或f（x）=Acos（ωx+φ）的形式．
（2）求出（1）中函数f（x）的最小正周期和单调减区间．
（3）求出（1）中的函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值以及相应的x的值．

答案

（1）f(x)=sinx+cos(x-

π

6

)=sinx+cosxcos

π

6

+sinxsin

π

6

=

3

2

sinx+

3

2

cosx=

3

(

3

2

sinx+

1

2

cosx)=

3

sin(x+

π

6

)…（4分）
（2）最小正周期T=

2π

1

=2π，…（5分）
减区间：2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z解得2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

4π

3

，k∈Z
所以单调减区间为[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

](k∈Z)…（7分）
（3）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

，…（9分）
当x+

π

6

=

π

6

，即x=0时，函数有最小值

3

2

，
当x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，函数有最大值

3

…（13分）