题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

3

sin(x-ϕ)cos(x-ϕ)-cos2(x-ϕ)(0≤ϕ≤

π

2

)为偶函数．
（I）求函数的单调减区间；
（II）把函数的图象向右平移

π

6

个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求方程g(x)+

1

2

=0的解集．

答案

（I）f(x)=

3

sin(x-ϕ)cos(x-ϕ)-cos2(x-ϕ)(0≤ϕ≤

π

2

)
=

3

2

sin2(x-φ)-

1+cos2(x-φ)

2

=sin(2x-2φ-

π

6

)-

1

2

，
∵f（x）为偶函数，0≤ϕ≤

π

2

且，∴-2φ-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z，解得φ=

π

6

，
则f（x）=sin(2x-

π

2

)-

1

2

=-cos2x-

1

2

，
由2kπ-π≤2x≤2kπ（k∈Z）得，kπ-

π

2

≤x≤kπ，
故所求的递减区间是[kπ-

π

2

，kπ]（k∈Z），
（II）函数的图象向右平移

π

6

个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）=-cos（2x-

π

3

）-

1

2

，
由方程g(x)+

1

2

=0得，-cos（2x-

π

3

）=0，即cos（2x-

π

3

）=0，解得2x-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），
即x=

5π

12

+

kπ

2

（k∈Z），
所求的解集为{x|x=

5π

12

+

kπ

2

（k∈Z）}．