题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）已知f（a）=3，且a∈（0，π），求a的值．

答案

（Ⅰ）f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x=

3

sin2x+2×

1+cos2x

2

+1=

3

sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+

π

6

）+2．
所以最小正周期为：T=

2π

2

=π
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ．
∴函数f（x）的单调增区间为 [-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ] （k∈Z）．
（Ⅱ）由f（a）=3，得2sin（2a+

π

6

）+2=3．
∴sin（2a+

π

6

）=

1

2

．
∴2a+

π

6

=

π

6

+2k1π或2a+

π

6

=

5π

6

+2k2π，
即a=k₁π或a=

π

3

+k2π．
∵a∈（0，π），
∴a=

π

3

．