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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
如图,在平面直角坐标系中.锐角α,β的终边分别与单位圆交于A,B两点.
(1)如果tan α=
3
4
,B点的横坐标为
5
13
求cos(α+β)的值;
(2)若角α+β的终边与单位圆交于C点,设角α,β,α+β的正弦线分别为MA,NB,PC,求证:线段MA,NB,PC能构成一个三角形;
(3)探究第(2)小题中的三角形的外接圆面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说
明理由.魔方格
答案
(1)∵tanα=
3
4
且α为锐角
∴sinα=
3
5
,cosα=
4
5

∵B点的横坐标为
5
13

由三角函数的定义可知,cosβ=
5
13
,sinβ=
12
13

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=
4
5
×
5
13
-
3
5
×
12
13
=
-16
65

证明:(2)由(1)可得MA=sinα=
3
5
,NB=sinβ=
12
13
,PC=sin(α+β)=
63
65

∵MA+NB>PC,PC+NB>MA,MA+PC>NB
∴线段MA,NB,PC能构成一个三角形
(3)三角形的外接圆的面积是定值,证明如下:
设(2)中的三角形为△A′B′C′中,角A′,B′C′所对的边长为sinα,sinβ,sin(α+β)
由余弦定理可得,cosA′=
sin2α+sin2β-sin2(α+β)
2sinsinβ

=
sin2α+sin2β-(sinαcosβ)2+(cosαcosβ)2
2sinααsinβ
-cosαcosβ
=
2sin2αsin2β-2sinαsinβcosαcosβ
2sinαsinβ

=sinαsinβ-cosαcosβ=-cos(α+β)
∵α,β∈(0,
1
2
π)

∴α+β∈(0,π)
∴sinA‘=sin(α+β)
设外接圆的半径为r,则由正弦定理可得2R=
BC
sinA
=
sin(α+β)
sin(α+β)
=1
∴R=
1
2

∴外接圆的面积S=
π
4
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中.锐角α,β的终边分别与单位圆交于A,B两点.(1)如果tan α=34,B点的横坐标为513求cos(α+β)的值;(2)若角α+β的】;主要考察你对同角三角函数的基本关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知α∈R,sinα+2cosα=


10
2
,则tan2α=(  )
A.
4
3
B.
3
4
C.-
3
4
D.-
4
3
题型:浙江难度:| 查看答案
设锐角θ使关于x的方程x2+4xcosθ+cotθ=0有重根,则θ的弧度数为(  )
A.
π
6
B.
π
12
12
C.
π
6
12
D.
π
12
题型:单选题难度:一般| 查看答案
如果cosα=
1
5
,且α是第四象限的角,那么sinα=______.
题型:不详难度:| 查看答案
sinα=
3
5
,且α是第二象限角,则tanα=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
在△ABC中,tanA=


2
3
,则sinA=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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