题目

题型：解答题难度：一般来源：湖南模拟

已知函数f(x)=

3

sin(ωx)-2sin2

ωx

2

+m(ω＞0)的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

答案

（Ⅰ）f(x)=

3

sin(ωx)-2•

1-cos(ωx)

2

+m=2sin(ωx+

π

6

)-1+m.
依题意：函数f(x)的最小正周期为3π，即

2π

ω

=3π，解得ω=

2

3

.
所以f(x)=2sin(

2x

3

+

π

6

)-1+m.
当x∈[0，π]时，

π

6

≤

2x

3

+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(

2x

3

+

π

6

)≤1，
所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0．
所以f(x)=2sin(

2x

3

+

π

6

)-1．
（Ⅱ）∵f(C)=2sin(

2C

3

+

π

6

)-1=1，∴sin(

2C

3

+

π

6

)=1.而

π

6

＜

2C

3

+

π

6

＜

5π

6

，所以

2C

3

+

π

6

=

π

2

．解得C=

π

2

.
在Rt△ABC中，∵A+B=

π

2

，2sin2B=cosB+cos(A-C)，
∴2cos2A-sinA-sinA=0，解得sinA=

-1± 5

2

.
∵0＜sinA＜1，∴sinA=

5 -1

2

.