题目

题型：日照一模难度：来源：

已知函数f（x）=cossinx（x∈R），给出下列四个命题：
①若f（x₁）=-f（x₂）则x₁=-x₂
②f（x）的最小正周期是2π
③在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=

3π

4

其中真命题是（　　）

A．①②④

B．①③

C．②③

D．③④

答案

∵f（x）=cosxsinx=

1

2

sin2x
若f（x₁）=-f（x₂），则sin2x₁=-sin2x₂=sin（-2x₂）∴2x₁=-2x₂+2kπ时满足条件，即x₁+x₂=kπ可以，故①不正确；
T=

2π

2

=π，故②不正确；
令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，得-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，当k=0时，x∈[-

π

4

，

π

4

]f（x）是增函数，故③正确；
将x=

3π

4

代入函数f（x）得，f（

3π

4

）=-

1

2

为最小值，故f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称，④正确．
故选D．