题目

题型：解答题难度：一般来源：惠州二模

设函数f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

6

]时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的对称轴方程．

答案

（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=

2

sin（2x+

π

4

）+1+a，
∵ω=2，∴T=π，
∴f（x）的最小正周期π；
当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）时f（x）单调递增，
解得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
则x∈[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）为f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

6

]时，

π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

12

，
当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，sin（2x+

π

4

）=1，
则f（x）max=

2

+1+a=2，
解得：a=1-

2

，
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），得到x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）为f（x）的对称轴．