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题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
a为何值时,方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a有实数解.
答案

a∈[
解析

分析:所给方程的特征较明显,即是关于sinx与cosx的齐次方程,通过变形就可化为以tanx为变元的一元二次方程,从而据判别式进行求解.
解法一:原方程可化为
sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a(sin2x+cos2x),
即(1-a)sin2x+2sinxcosx-(2+a)cos2x=0.
(1)当a≠1时,∵cosx≠0,∴方程两边同除以cos2x,得
(1-a)tan2x+2tanx-(2+a)=0.
∵tanx∈R,∴Δ≥0,即4+4(1-a)(2+a)≥0,
a2+a-3≤0.又a≠1,
a∈[,1)∪(1,].
(2)当a=1时,原方程化为2sinxcosx-3cos2x=0,此方程有实根.
综合(1)(2)可得当a∈[]时,原方程有实数根.
解法二:(用函数观点)
当实数a取函数y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x值域中的数值时,原方程有实根.因此,求a的范围,实质上就是求上述函数的值域.
y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x
=1+sin2x-3cos2x
=1+sin2x (1+cos2x
=sin2xcos2x=sin(2x)-
其中y∈[ ],
a∈[]时,原方程有实数根.
评注: 解法一是常规解法,解法二利用了变换的观点,通过函数思想来解方程.函数与方程是数学中两个重要的概念,在解决数学问题时,如能灵活运用,将使解答具有创造性.
核心考点
试题【a为何值时,方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a有实数解.】;主要考察你对任意角三角函数的概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,考虑点.你能从这个图出发,推导出公式吗?

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,求的值.
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已知 ,求的值.
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中,,求的值.
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已知直线之间的一定点,并且点到的距离分别为是直线上一动点,作.且使与直线交于点,求面积的最小值.
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