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题目
题型:解答题难度:一般来源:江西模拟
已知函数f(x)=
ex-a
x
,g(x)=alnx+a.
(1)a=1时,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;
(2)若x>1时,函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)的图象的上方,求实数a的取值范围.
答案
(1)a=1时,F(x)=
ex-1
x
-lnx-1(x>0)

F′(x)=
xex-(ex-1)
x2
-
1
x
=
(x-1)(ex-1)
x2
…(3分)
令F"(x)≥0有:x≤0(舍去)或x≥1;令F"(x)≤0有0≤x≤1…(5分)
故F(x)的单增区间为[1,+∞);单减区间为(0,1].…(6分)
(2)构造F(x)=f(x)-g(x)(x>1),即F(x)=
ex-a
x
-alnx-a(x>1)

F′(x)=
(x-1)(ex-a)
x2

①当a≤e时,ex-a>0成立,则x>1时,F"(x)>0,即F(x)在(1,+∞)上单增,…(7分)
令F(1)=e-a-a≥0,∴a≤
1
2
e
,故a≤
1
2
e
…(8分)
②a>e时,F"(x)=0有x=1或x=lna>1
令F"(x)≥0有x≤1或x≥lna;令F"(x)≤0有1≤x≤lna…(9分)
即F(x)在(1,lna]上单减;在[lna,+∞)上单增…(10分)
故F(x)min=F(lna)=-aln(lna)-a>0,∴a<e
1
e
,舍去…(11分)
综上所述,实数a的取值范围a≤
1
2
e
…(12分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex-ax,g(x)=alnx+a.(1)a=1时,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)若x>1时,函数y=f(x)的图象总在函数】;主要考察你对对数函数的性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
设lg2x-lgx2-2=0的两根为α,β,则logαβ+logβα=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





2x,x<1
f(x-1),x≥1
,则f(log27)=(  )
A.
7
16
B.
7
8
C.
7
4
D.
7
2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知x满足不等式(log2x)2-log2x2≤0,求函数y=4x-
1
2
-a•2x+
a2
2
+1
(a∈R)的最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(x1x2…x2007)=8,则f(x12)+f(x22)+…+f(x20072)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=logax在x∈[3,+∞)上,恒有|f(x)|>1,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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