题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知函数f(x)=log_a(a^x-1)(a＞0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)x为何值时，函数值大于1。

答案

解：(1)f(x)=log_a(a^x-1)有意义，应满足a^x-1＞0，即a^x＞1，
当a＞1时，x＞0；
当0＜a＜1时，x＜0；
因此，当a＞1时，函数f(x)的定义域为{x|x＞0}；
当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为{x|x＜0}．
(2)当a＞1时，y=a^x-1为增函数，因此y=log_a(a^x-1)为增函数；
当0＜a＜1时，y=a^x-1为减函数，因此y=log_a(a^x-1)为增函数；
综上所述，y=log_a(a^x-1)为增函数；
(3)当a＞1时，f(x)＞1，即a^x-1＞a，
∴a^x＞a+1，∴x＞log_a(a+1)；
当0＜a＜1时，f(x)＞1，即0＜a^x-1＜a，
∴1＜a^x＜a+1，∴log_a(a+1)＜x＜0。