题目

题型：解答题难度：一般来源：山东省月考题

已知函数f（x）=log₂（3+2x﹣x²）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证f（x）在x∈（1，3）上是减函数；
（3）求函数f（x）的值域．

答案

解：（1）由3+2x﹣x²＞0得﹣1＜x＜3，
函数f（x）的定义域是{x|﹣1＜x＜3}
（2）设1＜x₁＜x₂＜3，则3+2x₂﹣x₂²﹣（3+2x₁﹣x₁²）=（x₁﹣x₂）（x₁+x₂﹣2），
∵1＜x₁＜x₂
∴3+2x₂﹣x₂²﹣（3+2x₁﹣x₁）＜0，
∴3+2x₂﹣x₂²＜3+2x₁﹣x₁²，
∴log₂（3+2x₂﹣x₂²）＜log₂（3+2x₁﹣x₁²）．
∴f（x）在x∈（1，3）上是减函数．
（3）当﹣1＜x＜3时，有0＜3+2x﹣x²≤4．
f（1）=log₂4=2，
所以函数f（x）的值域是（﹣∞，2]．