题目
题型:解答题难度:一般来源:广州一模
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若x>-1,证明:1-
1 |
x+1 |
答案
f"(x)=
1 |
x+1 |
x |
x+1 |
由f"(x)<0及x>-1,得x>0.
∴当x∈(0,+∞)时,f(x)是减函数,
即f(x)的单调递减区间为(0,+∞).…4
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,
当x∈(-1,0)时,f"(x)>0,
当x∈(0,+∞)时,f"(x)<0,
因此,当x>-1时,f(x)≤f(0),
即ln(x+1)-x≤0,
∴ln(x+1)≤x.…(6分)
令g(x)=ln(x+1)+
1 |
x+1 |
则g′(x)=
1 |
x+1 |
1 |
(x+1)2 |
x |
(x+1)2 |
∴当x∈(-1,0)时,g"(x)<0,
当x∈(0,+∞)时,g"(x)>0.…10
∴当x>-1时,g(x)≥g(0),
即 ln(x+1)+
1 |
x+1 |
∴ln(x+1)≥1-
1 |
x+1 |
综上可知,当x>-1时,
有1-
1 |
x+1 |
核心考点
举一反三
a |
x |
1 |
3 |
2x-1 |
3-x |
A.(2,+∞) | B.(-∞,2) | C.[2,+∞) | D.[3,+∞) |
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