题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

如图，某新建小区有一片边长为1（单位：百米）的正方形剩余地块ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数y=

2

9x

(

1

3

≤x≤

2

3

)的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路l与曲线段MN相切（切点记为P），并把该地块分为两部分．记点P到边AD距离为t，f（t）表示该地块在直路左下部分的面积．
（1）求f（t）的解析式；
（2）求面积S=f（t）的最大值．

答案

（1）因为y=

2

9x

，所以y′=-

2

9x2

，又P（t，

2

9t

），
所以过点P的切线方程为y-

2

9t

=-

2

9t2

(x-t)，即y=-

2

9t2

x+

4

9t

，
令x=0，得y=

4

9t

，令y=0，得x=2t．
所以切线与x轴交点E（2t，0），切线与y轴交点F(0，

4

9t

)．
①当

2t≤1 4 9t ≤1 1 3 ≤t≤ 2 3

，即

4

9

≤t≤

1

2

时，切线左下方的区域为一直角三角形，
所以f(t)=

1

2

×2t×

4

9t

=

4

9

；
②当

2t＞1 4 9t ≤1 1 3 ≤t≤ 2 3

，即

1

2

＜t≤

2

3

时，切线左下方的区域为一直角梯形，
f(t)=

1

2

(

4

9t

+

4t-2

9t2

)•1=

4t-1

9t2

；
③当

2t≤1 4 9t ＞1 1 3 ≤t≤ 2 3

，即

1

3

≤t＜

4

9

时，切线左下方的区域为一直角梯形，
所以f(t)=

1

2

(

4t-9t2

2

+2t)•1=2t-

9

4

t2．
综上f(t)=

2t- 9 4 t2， 1 3 ≤t＜ 4 9 4 9 ， 4 9 ≤t≤ 1 2 4t-1 9t2 ， 1 2 ＜t≤ 2 3

．
（2）当

1

3

≤t＜

4

9

时，f(t)=2t-

9

4

t2=-

9

4

(t-

4

9

)2+

4

9

＜

4

9

，
当

1

2

＜t≤

2

3

时，f(t)=

4t-1

9t2

=-

1

9

(

1

t

-2)2+

4

9

＜

4

9

，
所以Smax=

4

9

．
所以面积S=f（t）的最大值为

4

9

．