题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上，设∠MNB=θ，MN=l．
（1）试将l表示成θ的函数；
（2）求l的最小值．

答案

（Ⅰ）由题设，如图所示，△NBM≌△NEM，∠MNB=θ，MN=l，
∴∠AEM=90°-2θ，则MB=lsinθ，AM=l•sinθsin（90°-2θ），
由题设得：AM+MB=lsinθ+l•sinθsin（90°-2θ）=6，
从而得l=

6

sinθ+sinθsin(90°-2θ)

，
即：l=

6

sinθ+sinθcos2θ

，l=

3

sinθ•cos2θ

由

BN= 3 sinθcosθ ≤12 BM= 3 cos2θ ≤6 0＜θ＜ π 2

得：

π

12

≤θ≤

π

4

，
故：l表示成θ的函数为：l=

3

sinθ•cos2θ

，（

π

12

≤θ≤

π

4

）．
（Ⅱ）设：sinθ=t则u=t（1-t²）=t-t³，即u=t-t³，

π

12

≤θ≤

π

4

，u′=1-3t²令u′=0，得t=

3

3

当t＜

3

3

时，
u′＞0，当t＞

3

3

时，u′＜0，所以当t=

3

3

时，
u取到最大值：

3

3

-

1

3

3

3

=

2 3

9

，
∴l的最小值为

3

2 3 9

=

9 3

2

．