题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
本小题满分12分)
已知函数是偶函数.
(I)证明:对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点;
(II)若方程有且只有一个解,求实数的取值范围.
已知函数是偶函数.
(I)证明:对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点;
(II)若方程有且只有一个解,求实数的取值范围.
答案
(I)由函数是偶函数可得:
即对一切恒成立,
……………………………3分
由题意可知,只要证明函数在定义域上为单调函数即可.
任取且,则…………5分
,即,
……………6分
函数在上为单调增函数.
对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点.………7分
(II)若方程有且只有一解,
也就是方程有且只有一个实根,
令,问题转化为方程:有且只有一个正根.………8分
(1) 若,则,不合题意;…………9分
(2) 若时,由或,当时,不合题意;当时,;……………10分
(3) 若时,,若方程一个正根与一个负根时,则.
………11分
综上:实数的取值范围是.……………12分
即对一切恒成立,
……………………………3分
由题意可知,只要证明函数在定义域上为单调函数即可.
任取且,则…………5分
,即,
……………6分
函数在上为单调增函数.
对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点.………7分
(II)若方程有且只有一解,
也就是方程有且只有一个实根,
令,问题转化为方程:有且只有一个正根.………8分
(1) 若,则,不合题意;…………9分
(2) 若时,由或,当时,不合题意;当时,;……………10分
(3) 若时,,若方程一个正根与一个负根时,则.
………11分
综上:实数的取值范围是.……………12分
解析
略
核心考点
试题【本小题满分12分)已知函数是偶函数.(I)证明:对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点;(II)若方程有且只有一个解,求实数的取值范围.】;主要考察你对指数函数图象及性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知实数,函数,若,则a的值为________。
求关于x的方程x2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件是________。
(12分)某工厂生产一种机器的固定成本为5000元,且每生产100部,需要增加投入2500元,对销售市场进行调查后得知,市场对此产品的需求量为每年500部。已知年销售收入为,其中x是产品售出的数量。
(1)若x为年产量,y 表示年利润,求的表达式。(年利润=年销售收入—投资成本(包括固定成本))
(2)当年产量为何值时,工厂的年利润最大,其最大值是多少?
(1)若x为年产量,y 表示年利润,求的表达式。(年利润=年销售收入—投资成本(包括固定成本))
(2)当年产量为何值时,工厂的年利润最大,其最大值是多少?
(本题12分)已知函数是定义在R上的奇函数,当时,. 求:(1)的解析式. (2)画出的图像.
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