题目
题型:解答题难度:困难来源:0117 月考题
(1)判断并证明f(x)的奇偶性;
(2)若关于x的方程f(x)=log2(x-k)有实根,求实数k的取值范围;
(3)问:方程f(x)=x+1是否有实根?如果有,设为x0,请求出一个长度为的区间(a,b),使x0∈(a,b);如果没有,请说明理由。
(注:区间(a,b)的长度为b-a)
答案
解:(1)由,得-1<x<1,
所以函数f(x)的定义域为(-1,1);
因为f(-x)+f(x)=log2+log2=log2=log21=0,
所以f(-x)=-f(x),
即f(x)是奇函数;
(2)方程f(x)=log2(x-k)有实根,
也就是方程=x-k,即k=x-在(-1,1)内有解,
所以实数k属于函数y=x-=x+1-在(-1,1)内的值域。
令x+1=t,则t∈(0,2),
因为y=t-在(0,2)内单调递增,
所以t-∈(-∞,1),
故实数k的取值范围是(-∞,1);
(3)设g(x)=f(x)-x-1=log2-x-1(-1<x<1),
用“二分法”逐步探求,先算区间(-1,1)的中点g(0)=-1<0;
由于g(x)在(-1,1)内单调递减,
于是再算区间(-1,0)的中点g(-)=log23->0;
然后算区间(-,0)的中点 g(-)<0;
最后算区间(-,-)的中点g(-)>0,
所以g(-)·g(-)<0,
所以函数g(x)在区间(-,-)内有零点x0,
即方程f(x)=x+1在(-,-)内有实根x0,
又该区间长度为,
因此,所求的一个区间可以是(-,-)。
(答案不唯一)
核心考点
试题【已知函数, (1)判断并证明f(x)的奇偶性; (2)若关于x的方程f(x)=log2(x-k)有实根,求实数k的取值范围;(3)问:方程f(x)=x+1是否有】;主要考察你对二分法求函数零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若a>1,且关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解,求实数m的取值范围;
(2)设函数g(x)=f(-x),x∈[-2,+∞),g(x)满足如下性质:若存在最大(小)值,则最大(小)值与a无关,试求a的取值范围。
A.(1.4,2)
B.(1,1.4)
C.(1,1.5)
D.(1.5,2)
B.(1,1.4)
C.(1,1.5)
D.(1.5,2)
B.1.3
C.1.4
D.1.5
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