题目

题型：解答题难度：困难来源：浙江省模拟题

已知函数f（x）=a^|x|₊（a＞0，a≠1）。
（1）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（2）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关，试求a的取值范围。

答案

解：（1）令，
因为a>1，所以t>1，
所以关于x的方程有两个不同的正数解等价于关于t的方程有相异的且均大于1的两根，即关于t的方程有相异的且均大于1的两根，
所以，
解得，故实数m的取值范围为区间；
（2）
①当a>1时，
a）x≥0时，，，
所以，
b）时，，
所以，
ⅰ当即时，对，
所以g（x）在上递增，
所以，
综合a） b）g（x）有最小值为与a有关，不符合，
ⅱ当即时，由得，
且当时，，
当时，，
所以g（x）在上递减，在上递增，
所以，
综合a） b）g（x）有最小值为与a无关，符合要求，
②当时，
a）x≥0时，，
所以
b）时，，
所以，g（x）在上递减，
所以，
综合a） b）g（x）有最大值为与a有关，不符合，
综上所述，实数a的取值范围是。