题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

讨论函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数．

答案

解：函数的定义域为(0，+∞)，
任取x₁、x₂∈(0，+∞)，且x₁＜x₂，
f(x₁)-f(x₂)=(lnx₁+2x₁-6)-(lnx₂+2x₂-6)=(lnx₁-lnx₂)+2(x₁-x₂)，
∵0＜x₁＜x₂，
∴lnx₁＜lnx₂，
∴f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)，
∴f(x)在(0，+∞)上是增函数，
又f(1)=ln1+2×1-6=-4＜0，f(3)=ln3+2×3-6=ln3＞0，
∴f(x)在(1，3)内有零点，
由f(x)是单调函数知，f(x)有且仅有一个零点．