题目

题型：解答题难度：困难来源：湖南省会考题

已知函数f（x）=log₂（x-1）。
（Ⅰ）求函数y=f（x）的定义域；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+a，若函数y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设h（x）=f（x）+，是否存在正实数m，使得函数y=h（x）在[3，9]内的最小值为4？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

答案

解：（Ⅰ）∵f（x）=log₂（x-1），
∴x-1＞0，即x＞1，
∴f（x）的定义域为{x|x＞1}；
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+a=log₂（x-1）+a 在定义城内为增函数，
又y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点， 
∴g（2）·g（3）＜0，
∵g（2）=f（2）+a=a，
g（3）=f（3）+a=1+a，
∴a（a+1）＜0，得-1＜a＜0，
故实数a的取值范围为（-1，0）
（Ⅲ）∵x∈[3，9]，
∴f（x）∈[1，3]，令t=f（x），
则，
∵
当且仅当时取等号，
∴当m＞9时，在t∈[1，3]内为减函数（不要求证明），
∴当t=3时，取最小值，
由=4得m=3＜9，矛盾，舍去；
当1≤m≤9时，
当时，取最小值，
由得m=4；
当0＜m＜1时，在t∈（1，3] 内为增函数（不要求证明），
∴当t=1时；取最小值1+m，
由1+m=4得m=3＞1，矛盾，舍去，
所以存在m=4，使函数y=h（x）在[3，9]内的最小值为4。