题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)当x=1时,函数f(x)取得极值,求a的值;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]的最大值;
(3)当a=-1时,关于x的方程2mf(x)=x2(m>0)有唯一实数解,求实数m的值.
答案
1 |
x |
1-ax |
x |
因为当x=1时,函数f(x)取得极值,所以f′(1)=1-a=0,所以a=1.
经检验,a=1符合题意.(不检验不扣分) …(4分)
(2)f′(x)=
1 |
x |
1-ax |
x |
令f′(x)=0得x=
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
所以f(x)在(0,
1 |
a |
1 |
a |
①当0<
1 |
a |
②当1<
1 |
a |
1 |
2 |
1 |
a |
1 |
a |
所以x=
1 |
a |
1 |
a |
③当
1 |
a |
1 |
2 |
综上,①当0<a≤
1 |
2 |
1 |
2 |
③当a≥1时,f(x)最大值为-a. …(8分)
(每种情形1分)
(3)因为方程2mf(x)=x2有唯一实数解,
所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解,
设g(x)=x2-2mlnx-2mx,
则g′(x)=
2x2-2mx-2m |
x |
因为m>0,x>0,所以x1=
m-
| ||
2 |
m+
| ||
2 |
当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上单调递减,
当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)单调递增,
当x=x2时,g(x)取最小值g(x2). …(10分)
则
|
即
|
所以2mlnx2+mx2-m=0,因为m>0,所以2lnx2+x2-1=0(*),
设函数h(x)=2lnx+x-1,因为当x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解.
因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,即
m+
| ||
2 |
解得m=
1 |
2 |
核心考点
试题【设函数f(x)=lnx-ax,a∈R.(1)当x=1时,函数f(x)取得极值,求a的值;(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]的最大值;(3)当a=-】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)判断函数H(x)=f(x)-g(x)零点的个数,并说明理由;
(2)设数列{an}满足:a1∈(0,1),且f(an)=g(an+1),n∈N*;
①求证:0<an<1;
②比较an与(e-1)an+1的大小.
1 |
2 |
(Ⅰ)求函数y=f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数y=f(x)有三个不同的零点,求实数a的取值范围.
|
A.
| B.
| C.
| D.
|
a |
2 |
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,(x1<x2),求证:1<x1<a<x2<a2.
(1)f(x)-4=0与f"(x)=0有一个相同的实根;
(2)f(x)=0与f"(x)=0有一个相同的实根;
(3)f(x)+3=0的任一实根大于f(x)-1=0的任一实根;
(4)f(x)+5=0的任一实根小于f(x)-2=0的任一实根.其中所有正确命题是______.
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